Code Couvrant Ternaire K₃(7,2)=27

Analyse et vérification d'un code linéaire ternaire sur GF(3) avec 27 mots de code couvrant l'espace GF(3)⁷ avec un rayon de couverture R=2

Vérifications

Matrice Gsys = [I₃|P]

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Encodage/Décodage

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Contexte théorique

Le code couvrant ternaire K₃(7,2)=27 est un code linéaire sur le corps fini GF(3) avec les propriétés suivantes :

  • Alphabet : {0, 1, 2} (éléments de GF(3))
  • Longueur : n = 7
  • Dimension : k = 3
  • Nombre de mots : 3³ = 27
  • Rayon de couverture : R = 2
  • Espace total : 3⁷ = 2187 vecteurs

La matrice génératrice systématique Gsys = [I₃|P] est dérivée par réduction de Gauss-Jordan et garantit que chaque vecteur de GF(3)⁷ est à distance ≤ 2 d'au moins un mot de code.

Propriété de couverture :

∀ v ∈ GF(3)⁷, ∃ c ∈ C tel que dH(v, c) ≤ 2

Volume de la sphère :

|B(c, 2)| = 1 + 7×2 + C(7,2)×2² = 1 + 14 + 84 = 99

⚠️ Problème théorique détecté

Borne sphérique : 27 × 99 = 2673 > 2187 = 3⁷

Cette inégalité indique qu'un code parfait n'est pas possible avec ces paramètres. Cependant, un code couvrant pourrait exister si les sphères se chevauchent efficacement.

Sources du document analysé :

  • • Matrice originale : [0,1,2,2,1,1,1], [2,0,0,2,1,1,1], [0,1,1,0,0,2,0]
  • • Matrice systématique dérivée par Gauss-Jordan
  • • Contradiction avec les bornes d'Eindhoven (l(7,2) = 19)
  • • Approche expérimentale par génération aléatoire